REVISTA MATEMATICA

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 ESCUELA PREPARATORIA PUJILTIC.

Integrantes: Karla Itzel Morales cortes,María Fernanda Espinosa López

 Profesor: Dr. Hugo León Alcázar

SAN FRANCISCO PUJILTIC MUNICIPIO DE VENUSTIANO CARRANZA CHIAPAS.

15/12/2021

 Lógica matemática de álgebra-al silogismo Introducción Este trabajo se da a conocer los problemas lógica formal, especialmente en lo relativo a su expresión simbólica y resolución algebraica, del modo sencillo y perfecto en que la teoría del silogismo categórico, fundada por Aristóteles, como la proposiciones a través del álgebra de Boole. Aristóteles fue el primer filosofo que utilizo silogismo como una forma lógica de solución para los problemas y señalo que el silogismo fue el instrumento para las conclusiones lógicas. Lógica de silogismo es una forma de razonamiento con dos premisas para deducir una conclusión; en el silogismo la lógica es la relación en términos. Las premisas son enunciados, frases que se afirma o se niega, que representa algo mental o idea. En este tema explicaremos los tipos de silogismo,sus estructuras,elementos,reglas del silogismo y premisas.

Álgebra El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental).Es una de las principales ramas de la matemática, junto ala geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números. La historia de álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, dónde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax=b) y cuadráticas (ax2 + bx= c),así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2,con varias incógnitas. Los antiguos babiloneos resolvían cualquier ecuaciones cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan

Definición del álgebra: El álgebra es una rama de las matemáticas que utiliza no solo números y signos, sino también letras para resolver operaciones. Visto de otro modo, el álgebra busca hallar el valor numérico de variables denominadas incógnitas. Estas se representan mediante letras del alfabeto como x o y. Mediante el álgebra se resuelven distintos tipos de operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y otras más complejas como los logaritmos. Así, en un sentido más amplio, se puede entender el álgebra como el análisis de relaciones, cantidades y estructuras. Se puede definir además al álgebra como una extensión de la aritmética a un campo más extenso, donde no es necesario conocer el valor de todas las variables para efectuar operaciones matemáticas.

Ecuaciones de primer Grado: Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática con una o más incógnitas. Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para encontrar el valor numérico de la igualdad. Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas) están elevadas a la primera potencia (X1), que suele representarse solo con una X. Del mismo modo, el grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo tanto, una ecuación de primer grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.

 Ecuación de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, deben ejecutarse algunos pasos: 1. Agrupar los términos con X hacia el primer miembro y los que no llevan X al segundo miembro. Es importante recordar que cuando un término pasa al otro lado de la igualdad, su signo cambia (si es positivo pasa a ser negativo y viceversa). 4x + 2x = 21 - 3 3. Se realizan las operaciones respectivas en cada miembro de la ecuación. En este caso, corresponde una suma en uno de los miembros y una resta en el otro, lo que da como resultado: 6x= 18 4. Se despeja la X, pasando el término que tiene delante al otro lado de la ecuación, con signo opuesto. En este caso, el término está multiplicando, así que ahora pasa a dividir. X= 18/6 5. Se resuelve la operación para conocer el valor de X. X= 3 Entonces, la resolución de la ecuación de primer grado quedaría de la siguiente manera: 4x + 3 = 21 - 2x 4x + 2x = 21 - 3 6x = 18

X= 18/6 X= 3 Ecuación de primer grado con paréntesis: 2(2 + 2x)= 12 En una ecuación lineal con paréntesis, estos signos nos indican que todo lo que está dentro de ellos debe ser multiplicado por el número que tienen adelante. Este es el paso a paso para resolver ecuaciones de este tipo: 1. Multiplicar el término por todo lo que está dentro del paréntesis, con lo cual la ecuación quedaría de la siguiente forma: 4 + 4x = 12 2. Una vez que se ha resuelto la multiplicación, queda una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve como hemos visto anteriormente, es decir, agrupando los términos y haciendo las operaciones respectivas, cambiando los signos de aquellos términos que pasen al otro lado de la igualdad:

4 + 4x = 12 4x = 8 4x = 4/8 4x = 2 Conclusión El álgebra se encuentra en todas partes, más en la vida de un estudiante de ingeniería, que es como la materia a la cual te enfocas más, a diferencia de otras carreras y ramas. Llegamos a la conclusión de que el Álgebra es fundamental para la vida cotidiana pues a partir de una simple suma o resta, el ser humano hace uso del Álgebra. SILOGISMO SEGÚN ARISTOTELES “El silogismo es una forma de razonamiento deductivo derivado de una palabra latina syllogismus, y forma parte de la lógica de origen griego, tiene dos proposiciones como premisa, la otra como conclusión, y la última es la inferencia que debe extraerse de las otras dos proposiciones” Para empezar sobre la problemática de la lógica silogística hay dos puntos para destacar: 1.-Es la necesidad, que considera el silogismo como categórico, por considerar que los juicios que lo integran son así mismo categóricos.

2.-Y el otro serian el fundamento de dicha necesidad por “ser las cosas lo que son”. Esto es un poco de lo que veremos en este tema llamado silogismo.... El silogismo fue propuesto originalmente por Aristóteles, considerado el padre de la lógica. El silogismo es el concepto central de la lógica aristotélica, y desde que se inventó hace más de dos mil años, ha sido el pilar básico del pensamiento científico y filosófico. El silogismo de Aristóteles intenta establecer una conexión entre dos términos: el sujeto y el predicado se combinan o separan en el juicio. Las posibles conclusiones sobre la relación entre estos dos términos se extraen comparándolos (a juicio) con "términos intermedios". Por tanto, un silogismo consta de dos premisas, una premisa primaria y una premisa secundaria, en las que se comparan tres términos (tema, predicado y "término intermedio"), y se extraen nuevos juicios a partir de estas comparaciones como conclusiones. Aristóteles fue el primer filósofo en usar el silogismo como método lógico para resolver problemas y señaló que el silogismo es la principal herramienta para sacar conclusiones científicas, el silogismo tiene premisas y la segunda premisa es sacar conclusiones. Aristóteles define el silogismo como cualquier forma de argumento cuya conclusión es el resultado de premisas. Los términos más importantes del silogismo que veremos en este tema son: El predicado que se representara con una (P). El sujeto que se representara con una (S). Y la comparación entre estos dos o término medio se representara con una (M). Todo S es M. Todo M es P. Luego, todo S es P. En lógica matemática, la formalización del silogismo se realiza básicamente de dos formas: desde el cálculo de clases o desde el cálculo de preposiciones. Ambos puntos de vista incluyen silogismos en sistemas más grandes, subordinando algunos o todos sus principios a los axiomas de los cálculos anteriores.

Para la formación de los silogismos, a Aristóteles le bastó con los cuatro enunciados categóricos conocidos por las letras A, E, I y O: A: Todo S es P Universal afirmativo E: Ningún S es P Universal negativo I: Algún S es P Particular afirmativo O: Algún S no es P Particular negativo Aristóteles reconoció tres formas proposicionales de afirmación proposicional:

 1. La proposición singular se refiere al nombre de una persona cuyo término sujeto es un predicado que no puede ser igual a otros predicados.

 2. Proposición universal es aquella que es de alcance universal y en la que el término que oficia de sujeto es el símbolo de un género de cosas, y como tal se puede predicar de una pluralidad de individuos. 

3. Proposición particular es aquella que no es de alcance universal y en la que el término que oficia de sujeto es el símbolo de un género de cosas, y como tal se puede predicar de una pluralidad de individuos.

 4. Una proposición es afirmativa si se declara que el sujeto y el predicado coinciden y es negativa si se declara que difieren La razón de esto es que el propósito principal de la inferencia es establecer una proposición verdadera que pueda garantizar su verdad. Por tanto, la lógica debe ocuparse de las relaciones formales entre proposiciones para asegurar que las conclusiones se extraigan de las premisas. Una proposición se construye con las siguientes dos condiciones: si una proposición expresa una coincidencia entre dos palabras, una palabra se usa como sujeto y la otra como predicado, y están conectadas por cópulas. Por ejemplo: Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por tanto, Sócrates es mortal. En la proposición “Sócrates es mortal” el sujeto, “Sócrates”, es singular, el predicado “mortal”, es general, además, puesto que expresa acuerdo entre los términos, es verdadera.

El término M que aparece en las dos premisas se llama término intermedio del silogismo; el predicado P de la conclusión se llama término principal. El tema S de la conclusión se denomina término secundario. La lógica trata de establecer las leyes que garantizan que, de la verdad de los juicios comparados (premisas), se pueda obtener con garantía de verdad un nuevo juicio verdadero (conclusión). Estructura del silogismo Una premisa mayor, equivalente a un predicado de la conclusión (P). Una premisa menor, equivalente a un sujeto de la conclusión (S). Un término medio, con el que P y S se comparan. Un consecuente o conclusión, al que se llega afirmando o negando la relación entre P y S. Del latín syllogismus. Se conoce como silogismo a la manera más simple de razonar usando dos premisas o proposiciones y una conclusión que viene de estas. El modelo de silogismo está conformado por tres proposiciones que integran un término medio y dos extremos. Este término medio es común a las dos preposiciones y se llega a descartar en la conclusión. En pocas palabras, se trata de una forma de razonamiento o un argumento deductivo que está compuesto por dos proposiciones presentadas como premisas y otra como conclusión, siendo la conclusión una inferencia deductiva de las otras dos. ¿CUÁLES SON SUS TIPOS? 1 Tipos de silogismo 1.1 Silogismo compuesto 1.2 Silogismos irregulares 1.3 Silogismo disyuntivo 1.4 Silogismo condicional 1.5 Silogismo abreviado 1.6 Silogismo expandido 1.7 Silogismo categórico Silogismo compuesto Es el tipo de silogismo donde la premisa mayor llega a ser una proposición compuesta, y la premisa menor corresponde a una proposición categórica, la cual llega a ser el tipo más simple de proposición. Aquí la premisa mejor niega o afirma una de las partes de la premisa mayor. Silogismos irregulares 

Tipo de silogismo que suele incumplir la principal regla de los silogismos. Estos poseen 3 juicios: Entinema: que no usa la segunda premisa porque con relación a la primera está sobreentendida. Polisilogismo: Aquí se unen diversos silogismos creando una cadena de muchos razonamientos. Dilema: este unifica el silogismo hipotético y el silogismo disyuntivo. Silogismo disyuntivo Tipo de silogismo donde una proposición disyuntiva llega a ser la premisa mayor, mientras que la premisa menor niega o afirma una de las alternativas que son expuestas en dicha preposición. En este las premisas no pueden ser cierta simultáneamente, más bien solo una de ellas es la que es verdadera. Aquí si A es verdadero B será falto. Este silogismo no afirma que las proposiciones sean verdaderas, más bien solo una de ellas lo es. Ejemplo: 

● Es rojo o morado. 

● No es morado.

 ● Por lo tanto es rojo. Silogismo condicional Considerado como el más importante de todos. Se trata del silogismo que como premisa mayor posee una proposición condicional, mientras que como premisa menor dispone una proposición categórica. También se les suele llamar como silogismo hipotético, ya que el argumento que se emplea no siempre llega a ser válido, por tanto, si se cumple A, también se cumplirá B. Ejemplo:

 ● El cantante tiene buena voz. 

● Si practicas mucho serás cantante. 

● Por lo tanto, si cantas mucho tendrás buena voz. Silogismo categórico

En la que se establece la relación entre el término Sujeto S, y el término Predicado P. TÉRMINOS: Término mayor: Es el predicado de la conclusión. La premisa en la que se encuentra se llama Premisa mayor. Se representa como P. Término menor: Es el sujeto de la conclusión. La premisa en la que se encuentra se llama Premisa menor. Se representa como S. Término medio: Que sirve de comparación (tertium comparationis) y no puede estar en la conclusión. Se representa como M. Figuras y modos silogísticos Teniendo en cuenta la disposición de los términos en las premisas y en la conclusión se pueden dar las siguientes FIGURAS SILOGÍSTICAS, que se denominan: Los modos son las distintas combinaciones que se pueden hacer con los juicios que entran a formar parte de las premisas y la conclusión. Como estos juicios tienen cuatro tipos distintos, (A,E,I,O), y en cada caso se toman de tres en tres, -dos premisas y una conclusión- hay 64 combinaciones posibles. Estas 64 combinaciones posibles quedan reducidas a 19 modos válidos, al aplicar las reglas del silogismo. Reglas del silogismo Reglas para los términos El silogismo no puede tener más de tres términos. Esta ley se limita a cumplir la estructura misma del silogismo: La comparación de dos términos con un tercero. Aunque la regla es clara, su aplicación no siempre lo es. Es lo que algunos llaman silogismo de cuatro patas. Ver quaternio terminorum. Consideremos el siguiente silogismo: Todos los hombres nacen libres Ninguna mujer es un hombre Por tanto, ninguna mujer nació libre En la primera premisa estamos hablando de hombres como especie del género homo , y en la segunda estamos hablando de hombre como varón. Este silogismo es de todo punto inválido, aunque siga una forma aparentemente válida.

SILOGISMO DESARROLLADA EN FORMA DEL ÁLGEBRA Cuando se parte del cálculo de clase, se representa cada término por un símbolo, sin usar cuantificadores, si no dando por supuesto que los términos se toman en toda universalidad. Se usan, como operadores básicos, los de negación, alternativa, o suma lógica, y en conjunción o producto lógico; con su ayuda, las cuatro clases de preposición que se precisan en la teoría del silogismo categórico. Universal afirmativa, universal negativa, particular afirmativa y particular negativa. Quedan expresadas del siguiente modo: Todo A es B: no-A o B. En símbolos A’vB Ningún A es B: no-A o no-B. En símbolos A’Vb’ Algún A es B: no-(no-A o no-B). En símbolos: (A’ v B’), equivalente a A & B. Algún A no es B: no-(no-A o B) en símbolos: (A’ v B)’. Aplicando ahora las leyes del cálculo de clase pueden deducirse de todas las posibles parejas de premisas del tipo indicado que sean concluyentes, las respectivas conclusiones. De la relación entre el silogismo y el álgebra de Boole. En la lógica matemática actual, la formalización de la teoría del silogismo se ha llevado a cabo, fundamentalmente, por dos caminos: partiendo del cálculo de clases o partiendo del cálculo de preposiciones. Ambas perspectivas incluyen la silogística en sistemas más amplios, subordinando algunos de sus principios o todos ellos a los axiomas propio, de los ciados cálculos. Por lo tanto, la estructura del silogismo no aparece definida por un sistema propio.